形形色色的運動 – part2等加速

大家好,歡迎回到「物理看花」。相信經過上次的介紹,大家已經對於等速率運動的各種操作有比較多了解了。

今天我們會脫離等速率運動的範圍,來看當物體運動的速率有所變化的時候,要怎麼處理與預測呢?例如物體自由下落的時候,越到後來,他每單位時間的移動距離是越來越長的,也就是速率是越來越快的。這種情況之下的運動要如何處理呢?

當然第一個問題就會是:那這個速率是怎麼變化的呢?不同的變化方式,自然就會導致不同的運動結果,所以我們勢必要對速率的變化這一個特性,做出描述。

我們經常會在形容車子的性能中,看到這樣一段話:

這部車子,從0加速到時速100只要 xxx秒。

這很類似我們會關心快或慢的指標「速率」:物體增加一定量的移動距離所需要花的時間。從上面的敘述中我們可以看到,對於這種增加速率的能力的描述,我們會關注的是,將速率增加到一定的大小,需要花費多少時間,越短的時間內增加的速率越多,它的加速就越大。

一樣從比較簡單的狀況開始吧!在研究位置和時間的關係的時候,我們先分析的是位置變化率固定,也就是速率固定的運動:均勻運動。而此時我們就仿照同樣的思維來吧!

所謂的均勻加速運動,便是指任意的時間段中,其速率的增加量正比於時間的長度的運動

和前面的定義相同,這裡的重要詞句便同樣是「任意」。這個任意使我們能夠許多針對物體移動距離和時間的敘述,原封不動的套用在速率變化和時間的描述上。所以說可以知道

加速率  =  速率差距 / 時間差
速率差距 = 加速率 * 時間差
速率 = 起始速率 + 速率差距 = 起始速率 + 加速率 * 時間差

那在知道了每一點的速率以後,我們要怎麼推得移動距離和時間的關係呢?

其實這個問題,我們已經碰過了,還記得我們所說的:如何從時速表換算成里程表嗎?沒錯,就是將整個運動,切成無數個小段,透過小段之間的累加,計算出最後的移動距離。我們想要計算的越精準,就要切成越多個小段,做更多次的相乘和累加。

這麼冗長的計算實在令人討厭,尤其切分的越細越是令人耗費心神。但仔細看我們就會發現,這些移動距離之間的差距都是固定的,這也是因為速率隨時間的增加量固定所導致的。

這裡我們可以使用一個技巧:將第一個和最後一個配對,第二個和倒數第二配對,依此類推。我們可以很快地發現,他們這樣配對在一起,每一組總和移動的距離,都會是一樣的!而當把這些距離全部加起來的時候,就會相當於以中間的速率移動一樣的總時間所跑過的距離!更直接地說,時間中間點的速率,其實就是整個運動的平均速率

images

所以切的再細我也不怕,只要以時間一半的地方,拿這個速率乘上總時間,就會是全部移動的距離。

中點速率 = 加速率 * 一半的總時間
= 加速率 * 總時間 / 2 = 最後速率 / 2

總移動距離 = 中點速率 * 總時間
= 1/2 * 加速率 * 總時間^2

這很接近於伽利略的幾何說明,他的描述是,每一個時間點都可以跟另一個時間點配對,從而證明整個運動移動的距離,會等於以中點的速率作均勻運動的移動距離。在當時他沒有很好的分析以及工具,所以很難對這整個的計算結果有正確而嚴謹的數學描述,但在圖像上已經夠正確了。

從比較現代化的方法來看,其實並沒有限制,在計算任何運動的移動距離時,速率對時間的圖上,會形成一條又一條的長方形,他們的面積 = 底 * 高 = 時間差 * 當時的速率,就是每一小段移動的距離!而當我們切得越來越細越來越細的時候,這些面積的總和,就會是速率線底下形成的面積。所以速率曲線底下的面積,就會是移動過的距離。

7

而對於從0開始的等加速運動來說,他剛好就是一個簡單的三角形

移動距離 = 三角形面積 = 1/2 * 底 * 高
= 1/2 * 總時間 * (加速率 * 總時間)
1/2 * 加速率 * 總時間^2

 

此時我們突然意識到了,均勻加速運動,他移動過的距離和時間平方成正比

眾裡尋他千百度, 驀然回首,那人卻在, 燈火闌珊處。我們講了半天的各種自由下落,其實就只是一個,固定加速的運動啊!配合對於斜面上物體受力的理解 (feat. 西蒙史蒂芬),我們也因此能很準確地描述斜面上的加速運動,進而最後從實驗上得到了證明

精簡的總結,所有地表附近的物體,若沒有受到重力以外的影響,便會獲得一個固定的加速

這是很巨大的一步,我們因此將各種受到重力的運動,概括成了一個概念和敘述。而這個概念的形成與描述的巨大簡化,也成為了後面相關研究與概念發展的基礎。

今天的「物理看花」就到這邊,同時我們這一階段也告一個段落。將來還有許多形形色色的運動會和大家見面。不過在那之前,我們會繼續在其他的知識上,做多一點的整理。

我們下周見!

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com 標誌

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 /  變更 )

Google photo

您的留言將使用 Google 帳號。 登出 /  變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 /  變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 /  變更 )

連結到 %s

WordPress.com.

向上 ↑

%d 位部落客按了讚: