形形色色的運動 – part 1 等速

大家好,歡迎回到「物理看花」。上週我們簡單的講述了運動中,速度和位置差之間的換算,這個能幫助我們從更多角度來分析運動中的物體位置和時間的關係的工具。

本週開始,我們會更深入的運用這些工具,來更清楚的分析與描述,生活中實際的運動方式

首先,就先從最簡單的「均勻運動」開始。當然到了今天,我們可以很輕鬆的稱他為「等速」。然而速度究竟是什麼?我們是如何比較兩個物體移動的快慢呢

從經驗中,我們會把能在比較短時間內移動一樣距離的,或在同樣時間內移動比較長的距離的,稱為「快」,反之則稱為「慢」。而當我們要衡量不同時間不同距離的時候,就無法比較了。這時我們 (從馬後炮的角度) 定義一個比率:移動過的距離 / 移動所需要花費的時間

我們可以發現,這個值的大小,如果就直接當作是「快」和「慢」的指標,可以很清楚的符合前面的兩個觀察

同樣的時間,移動過的距離較長的,這個值越大。
同樣的距離,移動過的時間較短的,這個值也越大。

在這種情況之下,將這個值就成為這整段運動一個很有用的資訊。但問題來了,我們會發現,如果將一段完整的運動拆開來,分成好幾個時間段的話,每一段的值很可能都不盡相似。大家可以回想上禮拜中,忽快忽慢的車速,就是一個典型的例子。現實中同一個運動,有的時候很短的時間內我們可以移動很長的距離,有的時候卻又慢的可以,更別提搞不好還有那種完全停下來的時間,甚至還有往回跑抵銷先前運動的,這些到底都要怎麼處理呢?

最先做的,便是先「簡化」。先針對特別簡單的問題去仔細研究,然後再逐漸地放寬限制,來描述更複雜的運動。這便是伽利略做的第一件事情,也是後來的物理學中,最先討論的狀況:

所謂穩定運動或均勻運動是指某種運動,粒子在運動中任何相等的時段中通過的距離都彼此相等。*1

這個整個敘述最精華的詞,很可能就是在「任何」上了。有了這個「任何」,我們可以將一段運動作要多精細有多精細的切分,而每一段的時間與移動距離都是我們能掌握的

在這個基礎之上,伽利略推出了許多後續的定理。從現代來看,數量有點多而且敘述都相當冗長,但我們也能理解是為了避開很多如今已經解決,當時確難以處理的問題。其中的證明也不是很簡單明瞭,建立在幾何學的基礎上,非常的依賴各種對於「比例」*2的處理。

這邊我們就不多作分析,有興趣的讀者可以去閱讀原始「關於兩門新科學的對話」裡面的敘述。

那些定理的複雜描述中,也開始針對不同速率,他們的時間和距離等等作出各種描述。這其實也指引出了,對於一個運動中,有不只一種速率的情況之下,該如何作出描述。簡而言之,其實已經能夠探討一些「非均勻運動」的現象了,只不過還受限在「可以切分成數個均勻運動」的框架中。

在有許多數學基礎的今天,我們可以用更簡化的方式描述。建立在這個「任何」所構造出來的基礎上,我們便能得知,對於同一個均勻運動中,任意取一個時段,他所計算出來的剛剛那個比率,都會是一樣的值。因此我們能夠用這個單一的值,描述整個運動的狀況,這個值就稱為「速率」

速率 = 距離 / 時間
距離 = 時間 * 速率

當我們寫成這樣以後,便能體會到馬後炮的力量現代符號的簡潔。當兩個粒子用不同速率前進的時候,他們所前進的距離之比,可以直接從時間*速率推算出來:這正好是伽利略證明的定理之一。而數個均勻運動組合起來的時候,就將每一段的距離,用時間 * 速率計算出來,然後疊加起來。

還有一個非常直接的結論:均勻運動前進的距離正比於時間

另外特別提出來一點,是在前面所說的「任何」的作用下,我們其實是可以取一個極小極小的時間段,而速率依然能對這個極小的時間段作出完全的描述。換言之,速率可能可以不再只是「對於運動整體狀態的描述」,而進一步的暗示變成「對於瞬間狀態的描述」*3的可能性。

以上組合瞬間狀態這兩觀點,漸漸地開啟了對於非均勻運動的理解。

從現代的角度來看,我們會將最一開始,計算出來的比率,稱為整個運動的平均速率
而後來這個極小的時間段的速率,稱為某時間點*3「瞬間速率」

雖然對於均勻的運動 (或我們已經可以大膽的使用「等速率」描述它) 而言算出來的值是一樣的,但他們所代表的意義卻是十分不同。

均勻運動是一塊敲門磚,讓我們能嘗試著有系統地去分析物體運動的屬性。然而我們也知道,自然中的很多運動都不是能用等速運動描述的。舉例來說,一直欠缺說明的物體自然落下,距離和時間平方成正比的,顯然就不是均勻運動。越到後面它的速率,也就是同樣時間內所經過的距離是更大的。

那這種運動,又該怎麼解析它呢?
這邊就容我繼續欠著,我們下周的「物理看花」繼續再談吧!


註1: 從一個事後的角度來看,其實應該還要將這個運動限制在一直線上,並且朝著同一方向移動。雖然在這裡影響並不大,但在研究曲線運動的時候會是巨大的挑戰。伽利略利用幾何學的各種方式解決了,但其實對於系統化的描述是不太有利的。

註2: 如果長度之間都能用整數比表示的話,這會是一個簡單許多的問題。不過很可惜的是並非如此,所以必須對比例作更深入的討論。

註3: 多小的時間段,能夠被我們視為是一個點?這其實是一個很棘手的問題了。即便是發明了微積分的牛頓,也是在一定程度上忽略了這個問題,這甚至成為了微積分中的弱點,更多的詳情我們會在「讀數怡智」中聊到。不過既然伽利略也沒有解決過這個問題,我們也就先含糊帶過吧,大概未來幾週都會這麼含糊。
但很有趣的是,類似這樣的「任何」,也用來建立了對於極限的精確定義上,從而構造了嚴謹的微積分理論基礎。

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