沒運動過,也可以學運動學

大家好,歡迎回到「物理看花」。

上週的暖身結束之後,今天我們開始帶大家,正式進入現今物理學的殿堂,從最基礎的知識開始,看看這個世界,到底是怎麼被人們所理解的

 

今天我們再度針對「物體的運動」,也就是所謂的運動學。這其實不難理解:當想要探討這個世界某些事物的規律時,很容易就會想到的一類問題便是:某個東西,會再什麼時間,出現在哪裡?

時間而改變位置,就是「運動」,而研究運動的學問,自然就是「運動學」了。

稍微複習一下,我們上週談到了伽利略,還有他對運動所紮實進行的實驗及歸納

然而事實上伽利略還有一個很超越的地方,那便是將自然哲學公理化的進行推理和探討。某種程度上可以從他的著作中,看到他對於「自己能夠用幾何學來解釋自然」感到非常的自豪。

在早些時候,其實是沒有什麼方便的工具來研究自然的。而伽利略就是依靠各種紮實的假設,與巧妙的數學和結構上的設計彌補了觀念技術上的不足,完成了許多儘管由今日看來是有點瑕疵,但卻仍然十分可靠的推論與結論,進而奠定了現今觀念與技術的基礎

但也因為工具上的限制,很多的地方是非常難講的精確清楚的,很多方法也因為過於巧妙,簡單看看實在很難搞得懂他到底在講些什麼鬼。因此,儘管很有趣,但這部份我們就先不跟隨先哲的腳步,做各種痛苦而掙扎的思辨了。或許有朝一日我們會再回來,用馬後炮現代的角度看看這些花費了非常多心血的推理和說法,進而體會那時候的困境吧!

所以在這裡我們就快進,進入馬後炮現代視角,直接來看看現代是怎麼把現實的運動描述到紙上的吧!又是如何研究各種量和量之間的關係。但首先,我們要先有一些基礎的手法。


我們先來想想,一個最闔家歡樂的情境:爸媽開車帶你出去玩。

此時你在車上吃著零嘴喝著飲料,和爸媽閒話家常,好不快樂。突然間,風雲變色,因為剛剛飲料零嘴的厲害,你頓時內部有如萬馬奔騰,街亭就要失守了!此時你抬頭一瞄,發現最近的休息站在五公里外,於是人生的迎來一個運動學的題目:

「我到底….還要….撐多久…..」

這邊翻譯成運動學上的語言的話,就是

距離現在多久以後,我和我肚中的屎,可以移動五公里阿!」

這就是你此刻人生中至關重要的估算:龐大的壓力使你靈光乍現,你想到了時速表。你浮出了和伽立略前提:假設這個運動是「均勻的」。更明確地來說,對於這個運動中的物體,任何一段等長的時間所經過的距離都是一樣長的。例如說,如果這台車一個小時能夠移動60公里的話,那麼切成60等份以後,可以得到要移動5公里只需要5分鐘,如果真是如此的話,那就萬事大吉了!

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於是你抬頭一看…..「爸!不是跟你說了時速表要去修嗎!!!」
「拍寫啦,這個我忘記了。」

偉大的解決方案立刻被現實所擊敗,不過沒關係,你看到時速表壞了的同時,發現了里程表正在努力的運行中,認真地發揮它的功能。此時你靈光一閃,有沒有方法從里程表去推算出時速表上該有的數字呢?,拿起手中的手錶,數了很短的6秒鐘,發現里程表跳了0.15公里,於是你頂著龐大的壓力飛快的計算,發現以同樣的狀態一小時能夠移動90公里,太好了,會比預想還快抵達呢!

而且我還在要噴漿的狀態知道怎麼從里程表換算時速表了呢!


終於離休息站剩下兩公里了,不過你也發現了,其實你爸開車忽快忽慢的,根本不符合你對均勻運動的假設,所以你也就是死盯著里程表看,期待公里數又增加2的那一刻到來。

「乓!」的一聲,時速表突然能夠指出數字了。原來你爸重重的尻了儀錶板一下,時速表就復活了,是古老的修復術啊!實際看到數字以後,果然真的開得不太穩,數字忽上忽下的,根本算不準,還是回來專心看里程表倒數就好…里程表!它怎麼碎了一地了!

「爸!你幹嘛阿!」
「就想說修一下啊….沒關係啦,里程表沒有人在看的…」

此時你已經感受到了世界對你的惡意了,你眼神呆滯的看著時速表上忽上忽下的數字,心已經和里程表一起死去了。但,你的頭腦還活著。壓力之下的你飛快的思考:如果我能從里程表推算時速表,那應該也能從時速表推算里程表吧…啊!就把短時間的距離都加起來就好了吧!

你再度拿起手中的錶,飛快的計算起來。每一小段時間中,你瞄一下時速表,乘上手中的時間差得到這一小段的距離,然後再瞄一下,再乘上去,得到下一小段的距離,同時再把之前的距離都累加起來!乘、加、乘、加,你扛著巨大的壓力做著計算,數字不斷的增加,它代表著你目前為止,離開始計算的時候所移動的距離。終於,在它得出了2的同時,你們也停在了距離起算點兩公里的休息站了。

隨著萬馬奔騰而去,你的思緒也逐漸平靜下來,這時候才發現,你深切地掌握了一項技術呢!你知道里程表和時速表的互相推算方法,而且你還知道了,這兩種方法互相都是對方的反運算,你甚至可以先把里程表換成時速表,再換回里程表,跟原本的里程表,會只差一個固定的數字而已!如果只是拿來計算移動了多遠的話,和起始位置無關的位置差距,可以說是綽綽有餘!


這個偉大的技術,就是微積分,這個對於運動學以及後續的物理學的偉大工具。

從里程表換算成時速表,是要在很小變化內算出兩個量的變化比率,現今我們稱為微分
從時速表換算成里程表,是要將很多很小的量累加起來得出一個總和,現今稱為積分

微分和積分,互為相反的運算,最多差一個固定的常數,這就是很多微積分學的計算中至關重要的原理,也就是微積分根本原理

而微積分從此時開始發揮它強大的影響力,它使我們能在事物各個量的對於變化率規則給定或發現後,進一步的推算出它原本的量之間的關係,從而回答了許多問題,做出了許多預測。也很紮實的區分了許多伽利略也說不太清楚的邏輯,例如上週「物理看花」提到的「時間平方」規則的論證。

然而今天我們必須在這裡告一段落了,有興趣的讀者可以想想,什麼樣的假設與觀察,可以推論出「位置的差距和時間平方」成正比這條規則。

我們下周見!

 

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