數、信仰、殺人事件

大家好,歡迎回到「讀數怡智」。不好意思拖稿了兩天,今天我們延續上週的主題,繼續討論關於公度量的一些事情。

喜歡看推理漫畫的朋友,可能常常會看到連載中的免洗兇手,因為一些難以理解的動機而殺人,所謂「鼻屎大的殺機,汪洋般的殺意」。但現實世界總是更加精采,充斥著各種你我難以想像的事件。今天我們會講到一個數學發現,告訴你:平常數學證明寫不出來,可能會被不及格當掉,不過有時數學證明證出來了,可能…連命都沒了。

上週我們提到,只要兩個量之間有公度的存在,使用輾轉相除法,便一定能,而且可以很快地找到它是多少。換句話說,只會數整數的各位,一定可以好好的丈量這個世界的一切。

但這個美好的希望卻有一個前提
「只要兩個量之間有公度的存在」
「只要」

多少崩潰與懊悔都是從這種「只要」開始的。這裡我們就來介紹一個很古老的邪教*1學派:畢德哥拉斯學派。畢德哥拉斯(570-450 B.C),就是發現那個大名鼎鼎的「畢氏定理」的古希臘哲學家。他和他的追隨者,花費了許多心力,研究了許多世間的萬事萬物,因此對於各種事情,從美學、倫理、政治、宇宙哲學都有一套自成一格的看法。

而最多人所熟知的,是他們對於「數」和「世界」的看法。

在他們的相信中,這世界是由數字構成的。例如畢達哥拉斯就發現,音樂的音程是跟隨著弦長的比例變化的,而當他們形成簡單的整數比的時候,音調就更加的和諧。他們相信世間的一切,是如此的和諧又美好,所以上至天上的行星月亮,下到人們所喜歡的悅耳音樂,是一定可以用簡單整數比來表示的。*1

舉例來說,任兩段的長度,之間一定可以寫成簡單的整數比
換言之,一定會有公度這個量的存在。因為這個世界是如此的和諧美好

奠基在這個基礎上,他們做了許多推理,也發現了許多數學上的規律,一切都看似非常融洽,直到畢德哥拉斯學派中出了一個「叛教者」:希帕索斯。

這位生卒年不詳的大大,究竟做了什麼呢?為了能夠簡單一點的說明,以下就用現代化一點的方式來探討吧!*2
其實也沒什麼,就是好奇了一下:如果一個正方形,他的邊長和對角線,如果要寫成簡單整數比的話,應該要是多少呢?

想要用數的話,那就先找出兩個長度之間的公度,不就好了?
太巧了!我們這裡正好有一個快速找出公度量的方法呢!於是就如圖中所示:

geogebra-export (2)

如果對角線長m 邊長n,那我們第一步要做的便是:
m – n = r

這很簡單,在m上面找一個和n一樣長度的線段,把它扣掉就好了,所以就形成了圖中的甲線段。
接下來要做的是 拿邊長n 去扣掉剛剛做出來的長度 r。這邊看起來也不難,就照著剛剛的做法,繼續輾轉相除就好了

n – r = s

這時如此單純重複下去,我們會發現很快地就抵達了量測的極限了。這時候我們也只能雙手一攤:「阿!這實在太難了,我只能求到這樣了,大概就是XXX比XXX吧!」

但如果我們能夠巧妙地運用幾何知識,說不定就能最後從幾何上,證明出剛好能整除或等於的長度,整個問題的答案也就水落石出了!我們把它換成了下面這張圖:

geogebra-export (1)

在這張圖中,我們發現,如果從對角線上的點拉一條垂直線出來的話,會形成甲、乙、丙三個線段。而從我們對於三角形的各種性質的了解,會發現這三個線段都是一樣長的。

而也因為甲和丙一樣長,如果想要把甲從邊長上扣掉,那就會是圖中的藍色線段。此時神奇的事情發生了,甲、乙一樣長,又夾90度,正好和s又形成了等腰直角三角形

這說明了我們又可以重複剛剛的步驟,繼續輾轉相除法了!真是可喜可賀,可喜可賀,可喜可…..等…等一下!大事不太妙阿……

如果說我們從一個等腰直角三角形開始輾轉相除,到現在又形成了一個較小的等腰直角三角形,那等等繼續下去,不是一直會出現更小等腰直角三角形嗎?!這樣輾轉相除可以一直繼續縮小耶!

可是….如果這兩個線段之間是有公度的話,是可以寫成簡單整數比的話,輾轉相除是一定會停下來的阿?!

難道….這個世界是真的有東西,沒辦法寫成簡單的整數比例的?

當發現了有無法用整數比表示的量的時候,畢達哥拉斯的學派的核心信仰就崩潰了。許許多多以前的各種理論都建立在這個上面,他們當然很希望希帕索斯是錯的,但又找不到論證中的錯誤,眼看這個問題簡直要命阿,逃避不了,也解決不了阿!

此時,一個不同角度的解法出現了:
「解決不了問題,那就解決提出問題的人好了」

於是一群生氣又害怕的門徒,就把發現這件事情的希帕索斯扔進海裡淹死了。*3

這就是現代所稱的,第一次數學危機:人們發現很多事情無法用單純的整數比去描述。或許從現代的角度,我們很難想像這種事物有需要到滅口的程度,但看著後面的歷史,其實類似的事情不斷地在重演,人們面對新事物的衝擊的時候,常常會是異常恐慌的。

但無論怎麼說,現有的許多理論和技術還是要面對,這件事情一直到後來的歐多克索斯的比例論才算是真正的回應了這個不可公度的問題,修補了漏洞。而再更後來的歐幾里得則是重建了整個幾何學。

但這些都已經超過我們這一個段落的主題,又是另外一個故事了。今天的「讀數怡智」也就到這邊為止,各位朋友,我們周六再見!


註1: 這邊稍微平衡,畢達哥拉斯學派對於很多數學得概念釐清得相當清楚,對數學是很有貢獻的。有相關物理知識的應該也認同,那些針對自然現象的觀察和假想也都和實際相去不遠,之後的「物理看花」也會介紹到,敬請期待。
不過獨特的觀點、特殊的符號和語言、和常人不同的生活模式,怎麼看都還是很邪教阿~。

註2:相關的證明其實有非常多,各種不同的方式都來打臉這個假設,輾轉相除只是其中之一。其他可能的方法還包括「畢氏弄石法」,進而推廣演變成後來的「無窮遞降法」。另外當時使用的圖形也很可能是五角星形而非等腰直角三角形。
作法類似並不難,有興趣的各位可以嘗試證明五邊形的邊和弦(也就是所謂的黃金比例)是無法寫成整數比的。

註3:這個故事也有一說是畢達哥拉斯學派希望對這個發現保密,但希帕索斯卻把它洩漏出去了,因而觸犯了門規,而被判在海邊處死。

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